51Nod 1376 最长递增子序列的数量(dp+树状数组)

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最长递增子序列的题做过不少,让求数量的还是第一次,O(n^2)的代码很好写,但数据范围50000,故无情超时,想了很久,总算有所得。

** _ 时间: O(nlog(n)) 空间: O(2*n) _ **

** _ 思路 _ **
O(n^2)的思路中,每次求以第i个数结尾的最大长度和记录总数都要对前i-1个数进行遍历比较,如果能把这个比较过程转化为对前i项对求和,就可以用树状数组或线
段数进行求和优化了。

    重载+,按照题目需求重新定义求和意义
    Node operator + (const Node &t) const
    {
        if(this->len < t.len)
            return t;
        if(this->len > t.len)
            return (*this);
        return Node(t.len, (this->cnt + t.cnt) % MOD);

于是有 dp(i) = sum(dp(0, i-1)) + 1;
为什么可以这样呢。我们对序列的数从小到大进行操作,当前数的值等于原有顺序下前面所有数的求和,因为前面比它大的数都还为0尚未更新,不会造成影响,而已更新的数都
是比它小的,所以它的值就是前面的求和结果再加1。

** _ 代码 _ **

#include<cstdio>
#include<cstring>
#include<cstdlib>
#include<cmath>
#include<iostream>
#include<algorithm>
using namespace std;

const int MAX = 50005;
const int MOD = 1000000007;

struct Node
{
    int len, cnt;
    Node(){}
    Node(int len, int cnt): len(len), cnt(cnt){}
    Node operator + (const Node &t) const
    {
        if(this->len < t.len)
            return t;
        if(this->len > t.len)
            return (*this);
        return Node(t.len, (this->cnt + t.cnt) % MOD);
    }
};

struct Num
{
    int num, pos;
};

Node c[MAX];
Num d[MAX];

bool cmp(Num &a, Num &b)
{
    if(a.num == b.num)
        return a.pos > b.pos;
    return a.num < b.num;
}

void update(Node a,int pos, int n)
{
    for(int i = pos; i <= n; i += i&(-i))
        c[i] = c[i] + a;
}

Node query(int pos)
{
    Node ans(0, 0);
    for(int i = pos-1; i > 0; i -= i&(-i))
        ans = ans + c[i];
    return ans;
}

int main()
{
    int n;
    scanf("%d", &n);
    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        scanf("%d", &d[i].num);
        d[i].pos = i+1;
    }
    sort(d, d+n, cmp);
    Node ans(0, 0);

    for(int i = 0; i < n; ++i)
    {
        Node t = query(d[i].pos);
        if(++t.len == 1) t.cnt = 1;
        ans = ans + t;
        update(t, d[i].pos, n);
    }
    printf("%d\n", ans.cnt);
    return 0;
}