Alpha-Beta搜索

《对弈程序基本技术》专题

** Alpha-Beta ** 搜索

Bruce Moreland / 文

** 最小 ** ** - ** ** 最大的问题 **
Alpha-Beta 同“ 最小 - 最大 ”非常相似,事实上只多了一条额外
的语句。最小最大运行时要检查整个博弈树,然后尽可能选择最好的线路。这是非常好理解的,但效率非常低。每次搜索更深一层时,树的大小就呈指数式增长。

通常一个国际象棋局面都有 35 个左右的合理着法,所以用最小 - 最大搜索来搜索一层深度,就有 35
个局面要检查,如果用这个函数来搜索两层,就有 35 2
个局面要搜索。这就已经上千了,看上去还不怎样,但是数字增长得非常迅速,例如六层的搜索就接近是二十亿,而十层的搜索就超过两千万亿了。

要想通过检查搜索树的前面几层,并且在叶子结点上用启发式的评价,那么做尽可能深的搜索是很重要的。最小 -
最大搜索无法做到很深的搜索,因为有效的分枝因子实在太大了。

** 口袋的例子 **
幸运的是我们有办法来减小分枝因子,这个办法非常可靠,实际上这样做绝对没有坏处,纯粹是个有益的办法。这个方法是建立在一个思想上的,如果你已经有一个不太坏的选择
了,那么当你要作别的选择并知道它不会更好时,你没有必要确切地知道它有多坏。有了最好的选择,任何不比它更好的选择就是足够坏的,因此你可以撇开它而不需要完全了解
它。只要你能证明它不比最好的选择更好,你就可以完全抛弃它。

你可能仍旧不明白,那么我就举个例子。比如你的死敌面前有很多口袋,他和你打赌赌输了,因此他必须从中给你一样东西,而挑选规则却非常奇怪:

每个口袋里有几件物品,你能取其中的一件,你来挑这件物品所在的口袋,而他来挑这个口袋里的物品。你要赶紧挑出口袋并离开,因为你不愿意一直做在那里翻口袋而让你的死
敌盯着你。

假设你一次只能找一只口袋,在找口袋时一次只能从里面摸出一样东西。

很显然,当你挑出口袋时,你的死敌会把口袋里最糟糕的物品给你,因此你的目标是挑出“诸多最糟的物品当中是最好的”那个口袋。

你很容易把最小 -
最大原理运用到这个问题上。你是最大一方棋手,你将挑出最好的口袋。而你的死敌是最小一方棋手,他将挑出最好的口袋里尽可能差的物品。运用最小 -
最大原理,你需要做的就是挑一个有“最好的最差的”物品的口袋。

假设你可以估计口袋里每个物品的准确价值的话,最小 - 最大原理可以让你作出正确的选择。我们讨论的话题中,准确评价并不重要,因为它同最小 -
最大或 Alpha-Beta 的工作原理没有关系。现在我们假设你可以正确地评价物品。

最小 - 最大原理刚才讨论过,它的问题是效率太低。你必须看每个口袋里的每件物品,这就需要花很多时间。

那么怎样才能做得比最小 - 最大更高效呢?

我们从第一个口袋开始,看每一件物品,并对口袋作出评价。比方说口袋里有一只花生黄油三明治和一辆新汽车的钥匙。你知道三明治更糟,因此如果你挑了这只口袋就会得到三
明治。事实上只要我们假设对手也会跟我们一样正确评价物品,那么口袋里的汽车钥匙就是无关紧要的了。

现在你开始翻第二个口袋,这次你采取的方案就和最小 - 最大方案不同了。你每次看一件物品,并跟你能得到的最好的那件物品 ( 三明治 )
去比较。只要物品比三明治更好,那么你就按照最小 -
最大方案来办——去找最糟的,或许最糟的要比三明治更好,那么你就可以挑这个口袋,它比装有三明治的那个口袋好。

比方这个口袋里的第一件物品是一张 20
美元的钞票,它比三明治好。如果包里其他东西都没比这个更糟了,那么如果你选了这个口袋,它就是对手必须给你的物品,这个口袋就成了你的选择。

这个口袋里的下一件物品是六合装的流行唱片。你认为它比三明治好,但比 20
美元差,那么这个口袋仍旧可以选择。再下一件物品是一条烂鱼,这回比三明治差了。于是你就说“不谢了”,把口袋放回去,不再考虑它了。

无论口袋里还有什么东西,或许还有另一辆汽车的钥匙,也没有用了,因为你会得到那条烂鱼。或许还有比烂鱼更糟的东西 ( 那么你看着办吧 )
。无论如何烂鱼已经够糟的了,而你知道挑那个有三明治的口袋肯定会更好。

** 算法 **
Alpha-Beta 就是这么工作的,并且只能用递归来实现。稍后我们再来谈最小一方的策略,我希望这样可以更明白些。

这个思想是在搜索中传递两个值,第一个值是 Alpha ,即搜索到的最好值,任何比它更小的值就没用了,因为策略就是知道 Alpha
的值,任何小于或等于 Alpha 的值都不会有所提高。

第二个值是 Beta ,即对于对手来说最坏的值。这是对手所能承受的最坏的结果,因为我们知道在对手看来,他总是会找到一个对策不比 Beta
更坏的。如果搜索过程中返回 Beta 或比 Beta 更好的值,那就够好的了,走棋的一方就没有机会使用这种策略了。

在搜索着法时,每个搜索过的着法都返回跟 Alpha 和 Beta 有关的值,它们之间的关系非常重要,或许意味着搜索可以停止并返回。

如果某个着法的结果小于或等于 Alpha ,那么它就是很差的着法,因此可以抛弃。因为我前面说过,在这个策略中,局面对走棋的一方来说是以 Alpha
为评价的。

如果某个着法的结果大于或等于 Beta
,那么整个结点就作废了,因为对手不希望走到这个局面,而它有别的着法可以避免到达这个局面。因此如果我们找到的评价大于或等于 Beta
,就证明了这个结点是不会发生的,因此剩下的合理着法没有必要再搜索。

如果某个着法的结果大于 Alpha 但小于 Beta ,那么这个着法就是走棋一方可以考虑走的,除非以后有所变化。因此 Alpha
会不断增加以反映新的情况。有时候可能一个合理着法也不超过 Alpha
,这在实战中是经常发生的,此时这种局面是不予考虑的,因此为了避免这样的局面,我们必须在博弈树的上一个层局面选择另外一个着法。

在第二个口袋里找到烂鱼就相当于超过了 Beta ,如果口袋里没有烂鱼,那么考虑六盒装流行唱片的口袋会比三明治的口袋好,这就相当于超过了 Alpha(
在上一层 ) 。算法如下,醒目的部分是在最小 - 最大算法上改过的:

 int  AlphaBeta  (int depth  , int alpha, int beta  ) {
 if (depth == 0) {
 return Evaluate();
 }
 GenerateLegalMoves();
 while (MovesLeft()) {
 MakeNextMove();
 val = -  AlphaBeta  (depth - 1  , -beta, -alpha  );
 UnmakeMove();
 if (val >= beta) {
 return beta;
 }
 if (val > alpha) {
 alpha = val;
 }
 }
 return alpha;
 }

把醒目的部分去掉,剩下的就是最小-最大函数。可以看出现在的算法没有太多的改变。

这个函数需要传递的参数有:需要搜索的深度,负无穷大即 Alpha ,以及正无穷大即 Beta :

 val = AlphaBeta(5, -INFINITY, INFINITY);

这样就完成了 5 层的搜索。我在写最小 - 最大函数时,用了一个诀窍来避免用了“ Min ”还用“ Max
”函数。在那个算法中,我从递归中返回时简单地对返回值取了负数。这样就使函数值在每一次递归中改变评价的角度,以反映双方棋手的交替着子,并且它们的目标是对立的。

在 Alpha-Beta 函数中我们做了同样的处理。唯一使算法感到复杂的是, Alpha 和 Beta 是不断互换的。当函数递归时,
Alpha 和 Beta 不但取负数而且位置交换了,这就使得情况比口袋的例子复杂,但是可以证明它只是比最小 - 最大算法更好而已。

最终出现的情况是,在搜索树的很多地方, Beta 是很容易超过的,因此很多工作都免去了。

可能的弱点

这个算法严重依赖于着法的寻找顺序。如果你总是先去搜索最坏的着法,那么 Beta 截断就不会发生,因此该算法就如同最小 -
最大一样,效率非常低。该算法最终会找遍整个博弈树,就像最小 - 最大算法一样。

如果程序总是能挑最好的着法来首先搜索,那么数学上有效分枝因子就接近于实际分枝因子的平方根。这是 Alpha-Beta 算法可能达到的最好的情况。

由于国际象棋的分枝因子在 35 左右,这就意味着 Alpha-Beta 算法能使国际象棋搜索树的分枝因子变成 6 。

这是很大的改进,在搜索结点数一样的情况下,可以使你的搜索深度达到原来的两倍。这就是为什么使用 Alpha-Beta 搜索时,着法顺序至关重要的原因。

原文: http://www.seanet.com/~brucemo/topics/alphabeta.htm

译者:象棋百科全书网 ( webmaster@xqbase.com )


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